未签订租赁合同并已支付半年房租，我该如何是

您有权要求房东履行约定或退还房租。依据《合同法》，未签书面合同但已履行主要义务，合同成立。房东出售房屋可能构成违约，不及时处理可能导致您损失房租且无法继续居住。
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房东售房违约，您应：1.与房东协商，要求继续履行或退房款；2.协商不成，找基层组织调解；3.调解无果，收集租房证据，如转账记录、聊天记录等，起诉房东。
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您可以先与房东协商，或申请基层组织调解。协商调解无果时，应收集证据起诉。选择处理方式时，需考虑效率与成本，优先选择和解或调解，以降低时间和金钱成本。